Область научных интересов: бесконечномерный анализ, стохастический анализ, математическая физика.

Направление научных исследований: «Исследование эволюционных систем с помощью формул Фейнмана и функциональных интегралов».

Целью исследований является получение аналитических формул (формул Фейнмана и Фейнмана-Каца) для описания эволюции разнородных динамических систем на разнообразных геометрических структурах, изучение свойств эволюционных систем с помощью полученных формул.

В основе исследований лежит новый (предложенный Смоляновым О.Г. в конце 90-х годов) метод получения формул Фейнмана, пригодный для широкого класса систем, эволюционирующих, например, в областях евклидовых пространств и римановых многообразий, на графах, в бесконечномерных линейных и нелинейных пространствах, в р-адических пространствах.

Формулой Фейнмана называется представление решения начально-краевой задачи для эволюционного уравнения (или, что то же самое, представление эволюционной полугруппы, разрешающей рассматриваемую задачу) в виде предела последовательности кратных интегралов от некоторых функций при стремлении кратности к бесконечности. Зачастую пределы кратных интегралов в формулах Фейнмана совпадают с некоторыми функциональными интегралами (то есть интегралами по бесконечномерным пространствам функций=траекторий системы), причём интегралы берутся по вероятностным мерам или по псевдомерам фейнмановского типа. Представление решения начально-краевой задачи для эволюционного уравнения (или, что то же самое, представление эволюционной полугруппы, разрешающей рассматриваемую задачу) в виде функционального интеграла называется обычно формулой Фейнмана-Каца.

Формулы Фейнмана позволяют проводить непосредственные вычисления решений эволюционных уравнений, пригодны для аппроксимации переходных вероятностей случайных процессов, полезны для компьютерного моделирования классической и квантовой динамики, компьютерной симуляции случайных процессов. Формулы Фейнмана-Каца (интегралы по траекториям) позволяют исследовать эволюционные системы методами стохастического анализа. Кроме того, интегралы по траекториям занимают одно из центральных мест в математическом аппарате теоретической физики, это важные объекты в квантовой теории поля, особенно в теории калибровочных полей. Метод формул Фейнмана позволяет развить математически строгую теорию таких интегралов, необходимую для решения задач математической физики.

Приложения: Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца применяются для исследования классической, квантовой и стохастической эволюции на различных геометрических структурах. Результаты исследований могут быть, в частности, использованы при моделировании динамики (классических/квантовых/релятивистских) квазичастиц с переменной массой в потенциальном и магнитном полях. Такие квазичастицы встречаются, например, в моделях полупроводников, жидких кристаллов, при описании наноструктур, различных объектов мезоскопической физики и биофизики.